常见决策算法汇总

TOPSIS

TOPSIS法根据有限个评价对象与理想化目标的接近程度进行排序的方法，是在现有的对象中进行相对优劣的评价。TOPSIS法是一种逼近于理想解的排序法，该方法只要求各效用函数具有单调递增（或递减）性就行。 TOPSIS法是多目标决策分析中一种常用的有效方法，又称为优劣解距离法。 > 1981年，C.L.Hwang和K.Yoon首次提出了Topsis，全称Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution，可翻译为逼近理想解排序法，国内常称为优劣解距离法。它是一种常用的综合评价方法。

优点

TOPSIS可以弥补层次分析法的一些缺点: 1. 优劣解距离法可以充分利用原始数据信息，且其结果能充分反应各评价方案与最优方案的接近程度。 2. 对样本容量没有严格限制，数据计算简单易行，无需数据检验。（topsis法适用于两个以上）

基本过程

1. 原始矩阵正向化，得到正向化矩阵
   • 指标类型。指标类型一般分为四种，极大型指标、极小型指标、中间型指标、区间型指标。
     • 极大型指标越大越好；
     • 极小型指标越小越好；
     • 中间型指标越接近中间值越好；
     • 区间型指标落在区间内最好。
   • 正向化公式。正向化就是将原始数据指标都转化为极大型指标
     • 极小型 -> 极大型：\(x_i = max - x_i\)，当指标值中没有"0"时也可以用 \(x_i = \frac{1}{x_i}\)
     • 中间型 -> 极大型：\(x_i = 1 - \frac{|x_i - max|}{mid}\)，其中 \(mid\) 为中间值
     • 区间型 -> 极大型：其中 \(M\) 表示为距离区间最远的距离，即 \(max(a - min(x_i), max(x_i) - b)\) \[ \left\{\begin{array}{c} x_i=1-\frac{a-x_i}{M}\left(x^i \leqslant a\right) \\ x_i=1\left(a \leqslant x_i \leqslant b\right) \\ x_i=1-\frac{x_i-b}{M}\left(x^i \geqslant b\right) \end{array}\right. \]
   假设有n个要评价的对象，m个已经正向化的评价指标，构成的正向化矩阵为： \[ X=\left[\begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1 m} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2 m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n 1} & x_{n 2} & \cdots & x_{n m} \end{array}\right] \]
2. 对正向化矩阵标准化 \[ Z_{i j}=\frac{x_{i j}}{\sqrt{\sum_1^n x_{i j}^2}} \] 得到标准化矩阵为： \[ Z=\left[\begin{array}{cccc} z_{11} & z_{12} & \cdots & z_{1 m} \\ z_{21} & z_{22} & \cdots & z_{2 m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_{n 1} & z_{n 2} & \cdots & z_{n m} \end{array}\right] \]
3. 计算得分并归一化 构造评分公式：\(S = \frac{x - min}{max - min}\)，变形可得 \(S = \frac{x - min}{(max - x) + (x - min)}\) 计算列最大值 \[ Z^+ = (Z^+_1, Z^+_2, \cdots, Z^+_m) = \left(\max \left\{z_{11}, z_{21}, \cdots, z_{n 1}\right\}, \max \left\{z_{12}, z_{22}, \cdots, z_{n 2}\right\}, \cdots, \max \left\{z_{1 m}, z_{2 m}, \cdots, z_{n m}\right\}\right) \] 计算列最小值 \[ Z^- = (Z^-_1, Z^-_2, \cdots, Z^-_m) = \left(\min \left\{z_{11}, z_{21}, \cdots, z_{n 1}\right\}, \min \left\{z_{12}, z_{22}, \cdots, z_{n 2}\right\}, \cdots, \min \left\{z_{1 m}, z_{2 m}, \cdots, z_{n m}\right\}\right) \] 定义第 \(i\) 个评价对象与最大值的距离 \(D_i^{+}=\sqrt{\sum_{j=1}^m\left(Z_j^{+}-z_{i j}\right)^2}\) 定义第 \(i\) 个评价对象与最小值的距离 \(D_i^{-}=\sqrt{\sum_{j=1}^m\left(Z_j^{-}-z_{i j}\right)^2}\) 那么可以计算出第 \(i\) 个评价对象未归一化的得分为：\(S_i = \frac{D^-_i}{D^+_i + D^-_i}\) 将 \(S_i\) 归一化后进行数值排名，即可得到最佳方案

VIKOR

与TOPSIS的对比

• TOPSIS和VIKOR的区别之一在于聚合函数。TOPSIS是基于距离理想解的距离的集合，VIKOR方法在TOPSIS方法的基础上提出了一个具有优势率的折衷方案。在TOPSIS方法中，不仅要考虑到与正理想解的最近距离，而且考虑到与负理想解的最长距离，从而确定最优解，以最大限度地提高效益。但TOPSIS 中的这些距离只是简单地求和，没有考虑它们的相对重要性，而在VIKOR中决策者会根据自身需求确定其重要性。
• VIKOR方法相比TOPSIS方法多了一个决策机制系数，它可以使决策者做出更激进或更保守的决策。TOPSIS方法的过程没有纳入任何主观因素，更适合要求结果完全客观的决策环境。
• VIKOR方法的独特优势在于可以得到带有优先级的折衷方案，这使得通过VIKOR排序后的最佳方案可能不止一个。而TOPSIS方法只能得到唯一最优解，毕竟它的过程是完全客观的。